Matematicas: Matematicas

BLOGG MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

ESTE BLOG HA SIDO REALIZADO CON LA INTENSIÓN DE PODER OFRECER A LOS QUE LO VISITAN UNA MUESTRA DE LO QUE SON LAS MATEMÁTICAS DE 4° SEMESTRE DE BACHILLERATO INTEGRADO LOS TEMAS COMO LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS, LINEALES, POLINOMIALES, RACIONALES, LOGARÍTMICAS EXPONENCIALES, PERIÓDICAS, ETC, RELACIONES, DOMINIO, CONTRADOMINIO, FUNCIONES CONTINUAS Y DESCONTINUAS, TIPOS DE FUNCIONES, MODELOS LINEALES Y CUADRÁTICOS DIVISIÓN SINTÉTICA Y MUCHOS OTROS TEMAS MAS DE MATEMÁTICAS DE 4° SEMESTRE DE BACHILLERATO (COBAO).
ESTE BLOG CONSTA DE 24 TEMAS QUE SON LOS MAS IMPORTANTES EN ESTA ETAPA DE EL COBAO.

BLOQUE 1

-TIPOS DE FUNCIONES-

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicion, sustraccion, multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.
Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explicitas
si se pueden obtener las imagenes de por simple sustitucion.
f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas
si no se pueden obtener las imagenes de por simple sustitucion, si no que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0

Funciones polinomicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a₀+ a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿSu dominio es

, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k

Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logarítmico o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^xse llamafunción exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno
f(x) = cos x

Función tangente
f(x) = tg x

Función cosecante
f(x) = cosec x

Función secante
f(x) = sec x

-OPERACIONES CON FUNCIONES-
Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por:Suma

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)
  Ej.
Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:
( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1
( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 )

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por
( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
Ejemplo   Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x²  entonces:
    ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x² = 1 + 2x - x²
    ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)² = -2 + 1 - 1 = - 2
Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por( f g ) ( x ) = f (x) g (x)
Ejemplo Si g (x) = x² y h (x) = x - 2 entonces:
    ( h • g )(x) = h (x) • g (x) =( x - 2 ) x² = x³ – 2x²
    ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )² = 3 (25) = 75

Función Cociente
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

Ejemplo Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x ² entonces:

BLOQUE 2

-APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y

TRANSFORMACIONES GRAFICAS-

Función inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominiode su función inversa.

S dos funciones son inversas su composición es la función identdad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función,

Cálculo de la función inversa

1.-Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.-Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.-Se intercambian las variables.

Funcion escalonada

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k_.

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1.-Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2.-Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3.-Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4.- Representamos la función resultante.

FUNCIÓN IDENTIDAD

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

$\begin{array}{rrcl} id : & M & \to & M \\ & m & \to & n = id(m) \equiv n = m \end{array}$

o también:

$\operatorname{id}_M : M \mapsto M$

$\operatorname{id}_M(m) = m \,$

La función identidad es trivialmente idempotente, es decir:

$\operatorname{id}_M(\operatorname{id}_M(x)) = \operatorname{id}_M(x) = x \,$

Ejemplos:

Ejercicio 1:

La función $f(x)=x \,$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en $\mathbb{R}_p^2$ (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación $r=\theta$ : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en $\left \{ 0,1\right \}$ es la doble negación, expresada por $\not \neg x$ .

FUNCION CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

$f(x) = c \,$

donde c es la constante.

LA FUNCION CONSTANTE COMO UN POLINOMIO EN X.

Si un polinomio general, que tiene la forma:

$f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

$f(x) = \sum_{i = 0}^{0} a_{i} x^{i}.$

que es lo mismo que:

$f(x) = a x^0 = c\,$

que corresponde al término independiente del polinomio.

BLOQUE 3

-EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS-

Modelo general de las funciones polinomiales

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición

Si una función f está definida por

f (x) = a n X n + a n 1 - 1 X n - 1 + a n - 2 X n - 2 + ... + a 1 + a 0

donde

a 0, a 1,..., a n

son números reales $(a_{n}\neq0)$ y n es un entero no negativo. Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

Forma polinomial de funciones de grados:cero, uno y dos.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1

Que tiene en su variable equis el exponente uno.La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece de forma oblicua.

y = m x + b

LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:

Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.

Su gráfica es una parábola.

LA FUNCIÓN CUBICA

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y= ax³+ bx²+ cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos

La función constante, La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:
�� = ��, donde “a” es una constante
Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a).

Graficar la función �� = 5, determinar su dominio y rango.
La función también se puede expresar como �� = 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5 .

Dominio (−∞,∞), se debe recordar que el dominio de un polinomio siempre será �� = (−∞, ∞)

Ejercicio 2:

Graficar la función �� = − 72, determinar su domino y rango

La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale �� = −3.5, en la figura siguiente se muestra el resultado de la función.

Dominio (−∞, ∞) Rango {7/2}

BLOQUE 4

-UTILIZA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO-

Modelo matematico de las funciones polinomiales tres y cuatro

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4

Es la función de fórmula: y = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

Una representación especial de las funciones polinomiales es la función que no tiene un exponente como los anteriores.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE TERCER GRADO

En el siguiente cuadro se puede observar:

Las cúbicas: f(x)=ax³+bx²+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que la x vale -b/3a, punto de inflexión.

En este caso, no basta con el coeficiente a del máximo grado para saber la forma de la función, tal y como ocurre con las gráficas de las funciones polinómicas de menor grado.